Question

（2013•广东模拟）已知椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形．
（I） 求椭圆C₁的方程；
（II） 设点P是抛物线C₂：y=x²+h（h∈R）与C₁的公共点，C₂在点P处的切线与C₁交于点另一点M．Q是P关于X轴的对称点，问中否存在h使点Q在以PM为直径的圆上．

Answer 1

分析：（I）利用椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C₁的方程；
（II）假设存在h使点Q在以PM为直径的圆上，利用

QP

•

QM

=0，

QM

∥

OA

，即可求得结论．

解答：解：（I）由题意，∵椭圆C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右顶点A（1，0），一个焦点与点A、B构成等边三角形
∴b=1，2•

b2

a

=1
∴a=2，b=1
∴所求的椭圆方程为

y2

4

+x2=1，
（II）不妨设P（t，t²+h），M（x₀，y₀），则（t²+h）²+4t²-4=0（1）
假设存在h使点Q在以PM为直径的圆上，则

QP

•

QM

=0
∵

QM

∥

OA

∴M（-t，-t²-h），∴2t=

t2+h

t

∴h=t²＞0
代入（1）得h²+h-1=0
∴h=

5 -1

2

  
∴存在h=

5 -1

2

，使点Q在以PM为直径的圆上．

点评：本题考查椭圆的标准方程与椭圆的几何性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，求得椭圆的方程是关键．