Question

已知函数f（x）=x³．
（Ⅰ）记，求φ（x）的极小值；
（Ⅱ）若函数的图象上存在互相垂直的两条切线，求实数λ的值及相应的切点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求导数，解方程φ′（x）=0，然后判断两根左右两侧导数符号，根据极小值的定义即可求得，注意讨论参数t；
（Ⅱ）h（x）=3λx+sinx⇒h'（x）=3λ+cosx，设两切点分别为（t₁，h（t₁）），（t₂，h（t₂）），则h'（t₁）h'（t₂）=-1，
利用关于λ的方程有解可求得等式，进而求得λ值及相应切点坐标．
解答：解：（Ⅰ）由已知：f（x）=x³，∴φ（x）=x³+tx²，，
由φ'（x）=0⇒x=0，或，
当t=0时，φ'（x）=3x²≥0，∴φ（x）在（-∞，+∞）为增函数，此时不存在极值；
当t＞0时，x变化时，φ'（x），φ（x）变化如下：

x					（0，+∞）
φ'（x）	+		-		+
φ（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由上表可知：φ（x）_极小=φ（0）=0，
当t＜0时，x变化时，φ'（x），φ（x）变化如下：

x	（-∞，0）
φ'（x）	+		-		+
φ（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

由上表可知：．
综上所述，当t＜0时，极小值为；当t＞0时，极小值为0．
（Ⅱ）h（x）=3λx+sinx⇒h'（x）=3λ+cosx，
设两切点分别为（t₁，h（t₁）），（t₂，h（t₂）），则h'（t₁）h'（t₂）=-1，
即（3λ+cost₁）（3λ+cost₂）=-1，，
∵λ∈R，∴方程（*）的判别式，
即，又-1≤cost₁≤1，-1≤cost₂≤1，∴，
从而可得：，
上式要成立当且仅当，或，
此时方程（*）的解为λ=0，
∵x≠0，∴存在λ=0，此时函数的图象在点（2kπ，0）（k∈Z，k≠0）处的切线和在点（2mπ+π，0）（m∈Z）处的切线互相垂直．
点评：本题考查利用导数求函数极值及导数的几何意义，考查学生运用所学导数知识分析问题解决问题的能力．