题目内容
在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（1）证明：数列{an-n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=
，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn+bn＞
．
（1）证明：数列{an-n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）记bn=
| n |
| an-n |
| 16 |
| 9 |
（1）∵数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，
∴an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*，a1-1=1，
∴数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列，
∴an-n=1×4n-1，an=4n-1+n．
（2）由（1）得bn=
=
，
∴Sn=1+2×
+3×
+…+(n-1)×
+n×
，
则
Sn=1×
+2×
+…+(n-1)×
+n×
，
相减得
Sn=(1+
+
+…+
)-n×
=
(1-
)-n×
，
∴Sn=
(1-
)-
，
∴Sn+bn=
-
×
-
+
=
+
•(2n-
)，
∵n≥1，∴2n-
＞0，
∴Sn+bn＞
．
∴an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*，a1-1=1，
∴数列{an-n}是首项为1，且公比为4的等比数列，
∴an-n=1×4n-1，an=4n-1+n．
（2）由（1）得bn=
| n |
| an-n |
| n |
| 4n-1 |
∴Sn=1+2×
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 42 |
| 1 |
| 4n-2 |
| 1 |
| 4n-1 |
则
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 42 |
| 1 |
| 4n-1 |
| 1 |
| 4n |
相减得
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 42 |
| 1 |
| 4n-1 |
| 1 |
| 4n |
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 4n |
| 1 |
| 4n |
∴Sn=
| 16 |
| 9 |
| 1 |
| 4n |
| n |
| 3×4n-1 |
∴Sn+bn=
| 16 |
| 9 |
| 16 |
| 9 |
| 1 |
| 4n |
| n |
| 3×4n-1 |
| n |
| 4n-1 |
=
| 16 |
| 9 |
| 1 |
| 3×4n-1 |
| 4 |
| 3 |
∵n≥1，∴2n-
| 4 |
| 3 |
∴Sn+bn＞
| 16 |
| 9 |
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，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．