Question

9．已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=-2．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-2，2]上的最大值；
（Ⅲ）若a≥0，解关于x的不等式f（ax²）-2f（x）＜f（ax）+4．

Answer 1

分析 （Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，再令x=y=0，令y=-x，从而解得；
（Ⅱ）利用定义法证明函数的单调性，从而求最大值；
（Ⅲ）由不等式化简可得f（ax²-2x）＜f（ax-2），从而可得ax²-2x＞ax-2，从而分类讨论求解集．

解答 解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为R，
令x=y=0得，f（0+0）=f（0）+f（0），
解得，f（0）=0，
令y=-x得，f（x-x）=f（x）+f（-x），
即f（x）+f（-x）=0，
即f（-x）=-f（x），
故f（x）是R上的奇函数；
（Ⅱ）任取x₁＜x₂，则
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）
=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）＜0，
故f（x₂）-f（x₁）＜0，
故f（x）在R是单调减函数，
∵f（1）=-2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，f（-2）=-f（2）=4，
故f（x）在区间[-2，2]上的最大值为4；
（Ⅲ）∵f（ax²）-2f（x）＜f（ax）+4，
∴f（ax²）-f（2x）＜f（ax）+f（-2），
∴f（ax²-2x）＜f（ax-2），
∴ax²-2x＞ax-2，
即ax²-（2+a）x+2＞0，
即（ax-2）（x-1）＞0，
当a=0时，不等式（ax-2）（x-1）＞0的解集为（-∞，1），
当0＜a≤2时，不等式（ax-2）（x-1）＞0的解集为（-∞，1）∪（$\frac{2}{a}$，+∞），
当a＞2时，不等式（ax-2）（x-1）＞0的解集为（-∞，$\frac{2}{a}$）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质的判断与不等式的解法与应用．