题目内容

已知椭圆 $数学公式$ ，F₁，F₂是左右焦点，l是右准线，若椭圆上存在点P，使|PF₁|是P到直线l的距离的2倍，则椭圆离心率的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：设点P到直线l的距离为d，根据椭圆的定义可知|PF₂|比d的值等于c比a的值，由题意知|PF₁|等于2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，联立化简得到：|PF₁|等于一个关于a与c的关系式，又|PF₁|大于等于a-c，小于等于a+c，列出关于a与c的不等式，求出不等式的解集即可得到 $\text{[math]}$ 的范围，即为离心率e的范围，同时考虑e小于1，从而得到此椭圆离心率的范围．
解答：设P到直线l的距离为d，
根据椭圆的第二定义得 $\text{[math]}$ =e= $\text{[math]}$ ，|PF₁|=2d，且|PF₁|+|PF₂|=2a，
则|PF₁|=2a-|PF₂|=2a- $\text{[math]}$ =2d，即d= $\text{[math]}$ ，
而|PF₁|∈（a-c，a+c），即2d= $\text{[math]}$ ，
所以得到 $\text{[math]}$ ，由①得： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2≥0， $\text{[math]}$ 为任意实数；
由②得： $\text{[math]}$ +3 $\text{[math]}$ -2≥0，解得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ （舍去），
所以不等式的解集为： $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，即离心率e≥ $\text{[math]}$ ，又e＜1，
所以椭圆离心率的取值范围是[ $\text{[math]}$ ，1）．
故答案为：[ $\text{[math]}$ ，1）
点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及椭圆简单性质的运用，是一道中档题．