题目内容
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=8，S8=36，则数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和为（ ）| A． | $\frac{100}{101}$ | B． | $\frac{99}{101}$ | C． | $\frac{99}{100}$ | D． | $\frac{101}{100}$ |
分析 利用等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”即可得出．
解答 解：设等差数列{an}的公差为d，∵a8=8，S8=36，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+7d=8}\\{8{a}_{1}+\frac{8×7}{2}d=36}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=1}\end{array}\right.$，
∴an=1+（n-1）=n．
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$}的前100项和=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{100}-\frac{1}{101}）$=1-$\frac{1}{101}$=$\frac{100}{101}$．
故选：A．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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