Question

5．下列命题：
①函数y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}$+x）的最小值等于-1；
②函数y=sinπxcosπx是最小正周期为2的奇函数；
③函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上单调递增；
④若sin2α＜0，cosα-sinα＜0，则α一定为第二象限角；
正确的个数是2．

Answer 1

分析 由$（\frac{π}{6}+x）+（\frac{π}{3}-x）$=$\frac{π}{2}$，得到cos（$\frac{π}{6}$+x）=sin（$\frac{π}{3}$-x）进一步化简y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}$+x），则可判断①正确；利用倍角公式化简后，再通过函数的周期性和奇偶性判断②；由相位的范围可得函数在区间[0，$\frac{π}{2}$]上不是单调函数判断③；由sin2α＜0，得到α在第二或四象限，结合cosα-sinα＜0即可判断④正确．

解答 解：∵$（\frac{π}{6}+x）+（\frac{π}{3}-x）$=$\frac{π}{2}$，
∴cos（$\frac{π}{6}$+x）=sin（$\frac{π}{3}$-x）．
∴y=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-cos（$\frac{π}{6}$+x）=2sin（$\frac{π}{3}$-x）-sin（$\frac{π}{3}$-x）=-sin（x-$\frac{π}{3}$）．
∵x∈R，
∴y_min=-1．故①正确；
∵函数y=sinπxcosπx=$\frac{1}{2}$sin2πx，
∴f（-x）=-f（x）是奇函数，T=$\frac{2π}{2π}=1$，故②不正确；
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$$≤x+\frac{π}{4}$$≤\frac{3π}{4}$．
∴函数y=sin（x+$\frac{π}{4}$）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上不是单调函数；故③不正确；
∵sin2α=2sinα•cosα＜0，∴α为第二或四象限角．
又∵cosα-sinα＜0，
∴α在第二象限．故④正确．
∴正确的命题个数是2．
故答案为：2．

点评 本题考查命题的真假性判断，以及三角函数的最值、单调性、奇偶性以及象限角的综合应用，属于中档题．