Question

【题目】已知函数，，且点处取得极值．

（Ⅰ）若关于的方程在区间上有解，求的取值范围；

（Ⅱ）证明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题（Ⅰ）求导，利用求值；分离常数，构造函数，转化为求函数的值域问题；（Ⅱ）作差构造函数，将证明不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．

试题解析：解：（Ⅰ）∵， ∴

∵函数在点处取得极值，

∴，即当时，

∴，则得．经检验符合题意 2分

∵，∴， ∴．

令， 则．

∴当时，随的变化情况表：

	1	（1，2）	2	（2，3）	3
		+	0	-
		↗	极大值	↘

计算得：，，，

所以的取值范围为． 6分

（Ⅱ）证明：令，

则，

令，则，

函数在递增，在上的零点最多一个

又，，存在唯一的使得， 9分

且当时，；当时，．

即当时，；当时，．

在递减，在递增，从而．

由得即，两边取对数得：，，

，从而证得． 12分