题目内容
已知a，b，x，y均为正数，且a≠b．（Ⅰ）求证：（
）（x+y）≥（a+b）2，并指出“=”成立的条件；（Ⅱ）求函数f（x）=
（0＜x＜
）的最小值，并指出取最小值时x的值．
【答案】分析：（I）先将（
）（x+y）=a2+
+
+b2=a2+b2+（
+
），利用基本不等式a2+b2≥2ab，即可证得结论；
（II）利用（I）的结论，将函数f（x）=
变形为f（x）═（
）（3x2+1-3x2）
即可解决问题．
解答：解：（Ⅰ）∵（
）（x+y）=a2+
+
+b2=a2+b2+（
+
）
≥a2+b2+2
=a2+b2+ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．
（II）∵f（x）=
=
=（
）（3x2+1-3x2）
由（I）知，上式≥（3+3）2=36，当且仅当3x2=1-3x2即x2=
时等号成立，
∴函数f（x）=
（0＜x＜
）的最小值36，取最小值时x的值为
．
点评：本题考查不等式的应用，另外给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．
）（x+y）=a2+
+
+b2=a2+b2+（
+
），利用基本不等式a2+b2≥2ab，即可证得结论；（II）利用（I）的结论，将函数f（x）=
变形为f（x）═（
）（3x2+1-3x2）即可解决问题．
解答：解：（Ⅰ）∵（
）（x+y）=a2+
+
+b2=a2+b2+（
+
）≥a2+b2+2
=a2+b2+ab=（a+b）2，当且仅当ay=bx时取等号．（II）∵f（x）=
=
=（
）（3x2+1-3x2）由（I）知，上式≥（3+3）2=36，当且仅当3x2=1-3x2即x2=
时等号成立，∴函数f（x）=
（0＜x＜
）的最小值36，取最小值时x的值为
．点评：本题考查不等式的应用，另外给你一种解题工具，让你应用它来解答某一问题，这是近年考试命题的一种新颖的题型之一，很值得读者深刻反思和领悟当中的思维本质．
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