Question

已知函数f（x）=

1

3

x3-

1

2

ax2+

9

2

(a＞0)
（1）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；
（II）求证：曲线y=f（x）总有斜率为a的切线；
（III）若存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数，令导函数大于0求出x的范围，写成区间即为f（x）的单调递增区间；
（II）求出导函数，令f′（x）=x²-ax=a，因为判别式大于0恒成立，方程x²-ax-a=0对任意正数a都有解，得到证明．
（III）求出导函数，令导函数等于0求出根，通过对a的分类讨论得到根a在已知区间内函数的最小值大于0恒成立，所以此时不存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，当根a不在区间内求出f（x）的最小值，令最小值小于0求出a的范围即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=3时，

1

3

x3-

3

2

x2+

9

2

，
f′（x）=x²-3x，
令f′（x）=x²-3x＞0解得x＜0或x＞3．
所以f（x）的单调递增区间（-∞，0），（3，+∞）．
（II）f′（x）=x²-ax，
令f′（x）=x²-ax=a，即x²-ax-a=0，
因为a＞0，
所以△=a²+4a＞0恒成立，
所以方程x²-ax-a=0对任意正数a都有解，
所以曲线y=f（x）总有斜率为a的切线；
由（II）知，f′（x）=x²-ax，
令f′（x）=x²-ax=0得x₁=0或x₂=a，
因为a＞0，所以当0＜a＜2时，x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

因为

25-3a

6

＞0，

27-a3

6

＞0，
所以，对应任意x∈[-1，2]，f（x）＞0，即此时不存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，
当a≥2时，x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

因为

25-3a

6

-

43-12a

6

=

3a-6

2

≥0，
所以函数f（x）在[-1，2]上的最小值是

43-12a

6

．
因为存在x∈[-1，2]，使f（x）＜0成立，
所以

43-12a

6

＜0，
所以a＞

43

12

所以a 的取值范围为（

43

12

，+∞）

点评：本题考查利用导函数求函数的单调区间；利用导函数解决曲线的切线的斜率问题；通过导函数求函数的最值问题，属于一道综合题．