Question

3．如图，四面体ABCD中，AB=DC=1，BD=$\sqrt{2}$，AD=BC=$\sqrt{3}$，二面角A-BD-C的平面角的大小为60°，E，F分别是BC，AD的中点，则异面直线EF与AC所成的角的余弦值是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由已知得∠ABO=∠BDC=90°，＜$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{DC}$＞=60°，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$，从而得到|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，取BD中点H，CD中点G，连结FH、EH、GE、GF、EF，则∠EFG是异面直线EF与AC所成的角，由此能求出异面直线EF与AC所成的角的余弦值．

解答 解：∵四面体ABCD中，AB=DC=1，BD=$\sqrt{2}$，AD=BC=$\sqrt{3}$
二面角A-BD-C的平面角的大小为60°，E，F分别是BC，AD的中点，
∴AB²+BD²=AD²，BD²+CD²=BC²，
∴∠ABO=∠BDC=90°，＜$\overrightarrow{BA}，\overrightarrow{DC}$＞=60°，
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$，
∴${\overrightarrow{AC}}^{2}$=（$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}$）²=1+2+1+2×1×1×cos120°=3，∴|$\overrightarrow{AC}$|=$\sqrt{3}$，
取BD中点H，CD中点G，连结FH、EH、GE、GF、EF，
得∠FHE=60°，HF=HE=$\frac{1}{2}$，∴△HEF是正三角形，∴EF=$\frac{1}{2}$，
由三角形中位线定理得GF∥AC，∴∠EFG是异面直线EF与AC所成的角，
∵$GF=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$GE=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}$，
∴∠FEG=90°，
∴cos$∠EFG=\frac{EF}{FG}$=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴异面直线EF与AC所成的角的余弦值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角形中位线定理、勾股定理、余弦定理、向量性质的合理运用．