Question

如图5, 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，，，与交于点.

(1)  求点的轨迹方程；

(2)  求四边形的面积的最小值.

 

                                                          图5

Answer 1

解法一:

（1）解：设，

     ∵，

     ∴是线段的中点.                         

     ∴，①           

       .                      ②          

     ∵，  ∴.

     ∴.                           

     依题意知，

     ∴.                        ③           

把②、③代入①得：，即.      

∴点的轨迹方程为.                     

 (2)解：依题意得四边形是矩形，

   ∴四边形的面积为

   

 

 

  .                                     

∵，当且仅当时，等号成立，

∴.                                      

∴四边形的面积的最小值为.                        

解法二:

(1)解:依题意,知直线的斜率存在,设直线的斜率为,

      由于,则直线的斜率为.        

      故直线的方程为,直线的方程为.

      由  消去,得.

      解得或.                     

      ∴点的坐标为.            

      同理得点的坐标为.              

      ∵，

      ∴是线段的中点.                

      设点的坐标为,

      则                    

      消去,得.                

∴点的轨迹方程为.        

(2)解：依题意得四边形是矩形，

   ∴四边形的面积为

         

                                        

                                      

  .                                               

当且仅当,即时,等号成立.              

∴四边形的面积的最小值为.                        …