题目内容
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1a5a9=15，且$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，则S9=27．分析 等差数列{an}的公差为d，由a1a5a9=15，可得（a5-4d）a5（a5+4d）=15．由$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，可得$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{5}}）$+$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{5}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$+$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{9}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$=$\frac{3}{5}$，可得$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{5}-4d}-\frac{1}{{a}_{5}+4d}）$=$\frac{3}{5}$．
解得a5，利用S9=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a5即可得出．
解答 解：设等差数列{an}的公差为d，
∵a1a5a9=15，∴（a5-4d）a5（a5+4d）=15．
∵$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{5}{a}_{9}}$+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{1}}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{5}}）$+$\frac{1}{4d}（\frac{1}{{a}_{5}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$+$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{9}}-\frac{1}{{a}_{1}}）$=$\frac{3}{5}$，
化为$\frac{1}{8d}$$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{9}}）$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{1}{8d}（\frac{1}{{a}_{5}-4d}-\frac{1}{{a}_{5}+4d}）$=$\frac{3}{5}$．
解得a5=3，
则S9=$\frac{9（{a}_{1}+{a}_{9}）}{2}$=9a5=27．
故答案为：27．
点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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