Question

已知函数f（x）满足：f（x+1）和f（x-1）都是偶函数，当x∈[-1，1）时f（x）=|log₂|x-1||，则下列说法错误的是（　　）

• A、函数f（x）在区间[3，4]上单调递减
• B、函数f（x）没有对称中心
• C、方程f（x）=k（k≥0）在x∈[-2，4]上一定有偶数个解
• D、函数f（x）存在极值点x₀，且f′（x₀）=0

Answer 1

分析：先由函数的奇偶性可判断函数图象的对称性及周期性，从而可作出函数草图，由图象可作出判断．

解答：解：∵f（x+1）和f（x-1）都是偶函数，
∴f（x）的图象关于x=1，x=-1对称，
∴4为f（x）的周期，从而可得f（x）的草图，如图所示：
由图象易知A，B，C正确．
由图象知函数不存在极值点，故D错误．
故选：D．

点评：本题考查函数的图象及其应用，考查数形结合思想，属中档题，准确推导函数的相关性质并熟练作出图象是解题关键．