Question

在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=

7

，且4cos2(

A+B

2

)+cos2C=

1

2

（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知的等式左边第一项先利用诱导公式化简，再利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，可得出关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（Ⅱ）利用余弦定理得到c²=a²+b²-2abcosC，再利用完全平方公式变形后，将c及a+b的值代入，求出ab的值，再由cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵cos

A+B

2

=cos（

π

2

-

C

2

）=-sin

C

2

，cos2C=2cos²C-1，
∴4cos²（

A+B

2

）+cos2C=4sin²

C

2

+cos2C=2（1-cosC）+2cos²C-1=

1

2

，
整理得：（2cosC-1）²=0，可得cosC=

1

2

，
又C为三角形的内角，
则C=

π

3

；
（Ⅱ）∵a+b=5，c=

7

，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=7=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab=25-3ab，
∴ab=6，
又cosC=

1

2

，∴sinC=

1-cos2C

=

3

2

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．