Question

如图，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=PC，G是DPAB的重心，E是BC上的一点，且BE=BC，F是PB上的一点，且PF=PB．求证：

    （1）GF^平面PBC；

    （2）FE^BC；

    （3）GE是异面直线PG与BC的公垂线．

Answer 1

答案：
解析：

证明：（1）连结BG和PG，并延长分别交PA、AB于M和D．在DPBM中，∵ PF=PB，G是DPAB的重心，∴ MG=BM，∴ GF∥PM．又PA^PB，PA^PC，∴ PA^平面PBC，则GF^平面PBC．     （2）在EC上取一点Q，使CQ=BC，连结FQ，又PF=PB，∴ FQ∥PC，∵ PB=PC，∴ FB=FQ．∵ BE=BC，∴ E是BQ的中点，∴ FE^BQ，即FE^BC．     （3）连结GE．∵ GF^平面PBC，∴ 由三垂线定理得GE^BC于E．取BF中点N，连结EN，则EN∥FQ∥PC．∵ PC^平面PAB，∴ EN^平面PAB．连结NG，那么NG是EG在平面PAB上的射影．在RtDPDB中，∵ NG∥DB，∴ NG^PD，由三垂线定理得EG^PD于G，∴ GE是异面直线PG与BC的公垂线．