Question

【题目】已知函数其中实数为常数且.

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围及所有极值之和；

（III）在（II）的条件下，记分别为函数的极大值点和极小值点，

求证： .

Answer 1

【答案】(1) 见解析（II）,所有极值之和为 （III）见解析

【解析】试题分析：（1）利用导数并结合实数的不同取值求解单调区间；（2）由（1）可知当时函数有极值，此时 ，再根据根与系数的关系求解；（3）将问题转化为证明当时, 成立的问题，变形得即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可。

试题解析：(1) 函数的定义域为，

，

设

其中

①当时, ， ，函数在内单调递增；

②当时, ，方程有两个不等实根：

，且

由或

由

综上所述，

当时, 的单调递增区间为,无单调递减区间；

当时， 的单调递增区间为， ,单调递减区间

（II）由（I）的解答过程可知，当时,函数没有极值

当时，函数有极大值与极小值，

且

故实数的取值范围为,所有极值之和为

（III）由（II）知，当,

, .

故原不等式等价于证明当时, ，

即证.

设函数,则

当时， .

函数在区间单调递减,

由知,

∴

.即.

从而原不等式得证.