Question

如图，在△AOB中，点P在直线AB上，且满足

OP

=2t

PA

+t

OB

 (t∈R)，求

| PA |

| PB |

的值．

Answer 1

分析：由

OP

=2t

PA

+t

OB

 (t∈R)，及A、P、B三点共线，我们不难求出t值，进一步给出向量

PA

与向量

PB

的关系，进而可得答案．

解答：解：

PA

=

OA

-

OP

，
∴

OP

=2t(

OA

-

OP

)+t

OB

，
得

OP

=

2t

1+2t

OA

+

t

1+2t

OB

．
而P、A、B三点共线，
∴

2t

1+2t

+

t

1+2t

=1，
解得t=1，
∴

OP

=2

PA

+

OB

；
得

OP

-

OB

=2

PA

，
即

BP

=2

PA

，
有

| PA |

| PB |

=

1

2

．

点评：若A、B、P三点共线，O为直线外一点，则

OP

=λ

OA

+μ

OB

，且λ+μ=1，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练掌握．