Question

已知椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）与圆x²+y²=4c²只有两个公共点，其中c是该椭圆的半焦距，椭圆上的点到直线x-y-c=0距离的最大值为2

2

．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若a＞2c时，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）与圆x²+y²=4c²只有两个公共点，可得圆x²+y²=4c²必过椭圆长轴端点或短轴端点，分类讨论，即可求得椭圆的离心率；
（2）先确定a2=

5

4

b2，求出与直线x-y-c=0平行，与椭圆相切时直线的方程，利用此直线题意直线x-y-c=0距离为2

2

，即可求得椭圆的方程．

解答：解：（1）椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）与圆x²+y²=4c²只有两个公共点，
故圆x²+y²=4c²必过椭圆长轴端点或短轴端点，2c=a或2c=b…（3分）
当2c=a时，可得e=

1

2

；当2c=b时，可得e=

5

5

．…（6分）
（2）∵a＞2c，∴b=2c，∴a2=

5

4

b2，
∴椭圆b²x²+a²y²=a²b²为x²+

5

4

y²=a²．
设直线x-y+m=0与x²+

5

4

y²=a²联立，消去y可得9x²+10mx+5m²-4a²=0
令△=0可得m=±

3

5

5

a，根据题意，取m=

3

5

5

a
由题意，直线x-y+

3

5

5

a=0与直线x-y-c=0距离为2

2

．
∴

| 3 5 5 a+c|

2

=2

2

∵a=

5

c
∴a²=5c²
∵a2=

5

4

b2
∴c=1，a=

5

，b=2
∴椭圆的方程为

x2

5

+

y2

4

=1…12分

点评：本题考查圆与椭圆的综合，考查椭圆的标准方程，解题的关键是求出与直线x-y-c=0平行，与椭圆相切时直线的方程．