Question

[文]已知圆（x-2）²+（y-1）²=，椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的离心率为，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：先利用条件把椭圆的方程转化，再利用圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径求出关于b和点A、B坐标之间的方程，解方程可得b值，进而求出椭圆的方程．
解答：解：∵e===，∴a²=2b²．
因此，所求椭圆的方程为x²+2y²=2b²，
又∵AB为直径，（2，1）为圆心，即（2，1）是线段AB的中点，
设A（2-m，1-n），B（2+m，1+n），
则⇒
⇒得2b²=16．
故所求椭圆的方程为x²+2y²=16
点评：本题是对圆与椭圆的综合考查．在圆中，如果一线段是直径那么应有两条结论．一是过圆心，二是长为半径的二倍..