Question

[文]已知圆（x-2）²+（y-1）²=

20

3

，椭圆b²x²+a²y²=a²b²（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，若圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：先利用条件把椭圆的方程转化，再利用圆与椭圆相交于A、B，且线段AB是圆的直径求出关于b和点A、B坐标之间的方程，解方程可得b值，进而求出椭圆的方程．

解答：解：∵e=

c

a

=

a2-b2 a2

=

2

2

，∴a²=2b²．
因此，所求椭圆的方程为x²+2y²=2b²，
又∵AB为直径，（2，1）为圆心，即（2，1）是线段AB的中点，
设A（2-m，1-n），B（2+m，1+n），
则

(2-m)2+2(1-n)2=2b2 (2+m)2+2(1+n)2=2b2 |AB|=2 20 3

?

8+2m2+4+4n2=4b2 8m+8n=0 2 m2+n2 =2 20 3

?

2b2=6+m2+2n2 m2=n2= 10 3

得2b²=16．
故所求椭圆的方程为x²+2y²=16

点评：本题是对圆与椭圆的综合考查．在圆中，如果一线段是直径那么应有两条结论．一是过圆心，二是长为半径的二倍..