Question

（15分） 如图，已知点P在圆柱OO₁的底面⊙O上，AB、A₁B₁分别为⊙O、⊙O₁的直径，且A₁A⊥平面PAB.
(1)求证：BP⊥A₁P；
(2)若圆柱OO₁的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，求三棱锥A₁－APB的体积．
(3)在AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A₁B所成角的余弦值为 ？若存在，请指出M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(1)证明：因为AP⊥BP，由AA₁⊥平面PAB，得AA₁⊥BP

且AP∩AA₁＝A
; 所以BP⊥平面PAA₁
故BP⊥A₁P   
(2)由题意V＝π·OA²·AA₁＝4π·AA₁＝12π,解得AA₁＝3
由OA＝2,∠AOP＝120°,得∠BAP＝30°，BP＝2
AP＝2，∴S_△PAB＝×2×2＝2   
∴三棱锥A₁－APB的体积V＝S_△PAB·AA₁＝×2×3＝2
(3)答：在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与A₁B所成角的余弦值为
证明：∵O、M分别为AB、AP的中点，则OM∥BP，且已证BP⊥A₁P
∴∠A₁BP就是异面直线OM与A₁B所成的角    
在Rt中，        
∴在AP上存在一点M，当M为AP的中点时，使异面直线OM与A₁B所成角的余弦值为