Question

已知向量

m

=(sinB，1+cosB)与向量

n

=(2，0)的夹角为

π

3

，在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且a=2．
（I）求角B的大小；
（Ⅱ）若sinB是sinA和sinC的等比中项，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）由两个向量的夹角公式求出sin

B

2

=

1

2

，可得角B的值．
（Ⅱ）由（I）得sinB=

3

2

，由sinB是sinA和sinC的等比中项得sin²B=sinA•sinC，再由正弦定理可得b²=ac
=2c，再由由余弦定理可得b²=c²-2c+4，由此可得2c=c²-2c+4，解得c的值，由

1

2

ac•sinB 求得△ABC的面积．

解答：解：（I）由题意可得cos

π

3

=

1

2

=

m  • n

| m |•| n |

=

2sinB

2+2cosB ×2

=

4sin B 2 cos B 2

4cos B 2

=sin

B

2

，
解得 sin

B

2

=

1

2

，∴

B

2

=

π

6

，B=

π

3

．
（Ⅱ）由（I）可得sinB=

3

2

，若sinB是sinA和sinC的等比中项，则有sin²B=sinA•sinC=

3

4

．
再由正弦定理可得b²=ac=2c．
再由余弦定理可得 b²=a²+c²-2ac•cosB=4+c²-4c×

1

2

=c²-2c+4．
故有 2c=c²-2c+4，解得 c=2．
故△ABC的面积为

1

2

ac•sinB=

3

．

点评：本题主要考查两个向量的夹角公式，正弦定理、余弦定理的应用，等比数列的定义和性质，属于中档题．