Question

已知，是函数的两个零点，其中常数，，设．
（Ⅰ）用，表示，；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求证：对任意的．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）由题意得：，．因为，所以．.对抽象的求和符号具体化处理,是解答本题的关键.（Ⅱ）而
，（Ⅲ）用数学归纳法证明有关自然数的命题. （1）当时，由（Ⅰ）问知是整数，结论成立．（2）假设当（）时结论成立，即都是整数，由（Ⅱ）问知．即时，结论也成立．
解：（Ⅰ）由，．
因为，所以．
．     3分
（Ⅱ）由，得
．
即，同理，．
所以．
所以．     8分
（Ⅲ）用数学归纳法证明．
（1）当时，由（Ⅰ）问知是整数，结论成立．
（2）假设当（）时结论成立，即都是整数．
由，得．
即．
所以，．
所以．
即．
由都是整数，且，，所以也是整数．
即时，结论也成立．
由（1）（2）可知，对于一切，的值都是整数．      13分