题目内容

已知函数f(x)=
sinx
x
，判断下列三个命题的真假：
①f（x）＜1；
②x=0为f（x）的一个极大值点；
③当x∈（0，2π）时，f（x）没有极值点．其中真命题的个数是（　　）
分析：对于①针对函数f(x)=
sinx
x
的性质，只须考虑当0＜x＜
π
2
时的函数值即可，再利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx＜x；
对于②③，利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数f ’(x)=(
sinx
x
)′=
xcosx-sinx
x2
，然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论．
解答：解：①针对函数f(x)=
sinx
x
的性质，只须考虑当0＜x＜
π
2
时的函数值即可，
如图，在单位圆中，有sinx=MA，
连接AN，则S△OAN＜S扇形OAN，
设
AN
的长为l，则x=
1
r
=1，
∴
1
2
ON•MA＜
1
2
ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f(x)=
sinx
x
，故①正确；
②因为x为0时分母无意义，所以x=0不能为f（x）的一个极大值点，故②错误；
③由于函数的导数f ’(x)=(
sinx
x
)′=
xcosx-sinx
x2
，
当x∈(0，
3π
2
)时，xcosx-sinx＜0，即f'（x）＜0，
当x∈(
3π
2
，π)时，xcosx-sinx＞0，即f'（x）＞0，则函数在x=
3π
2
时取得极值，故③错误．
故答案选 B．
点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了三角函数、导数的一些性质，我们可以根据三角函数和导数的常用结论对三个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．
练习册系列答案
相关题目
（附加题）
（Ⅰ）设非空集合S={x|m≤x≤l}满足：当x∈S时有x2∈S，给出下列四个结论：
①若m=2，则l=4
②若m=-
1
2
，则
1
4
≤l≤1
③若l=
1
2
，则-
2
2
≤m≤0④若m=1，则S={1}，
其中正确的结论为
②③④
②③④
．
（Ⅱ）已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)，其中a，b∈R．若对于任意的a∈[
1
2
，2]，f（x）≤10在x∈[
1
4
，1]上恒成立，则b的取值范围为
（-∞，
7
4
]
（-∞，
7
4
]
．
将正奇数列{2n-1}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
记aij是这个数表的第i行第j列的数．例如a43=17
（Ⅰ）  求该数表前5行所有数之和S；
（Ⅱ）2009这个数位于第几行第几列？
（Ⅲ）已知函数f(x)=
3x
3n
（其中x＞0），设该数表的第n行的所有数之和为bn，
数列{f（bn）}的前n项和为Tn，求证Tn＜
2009
2010
．
（2012•开封二模）已知函数f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2
．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c若f(A)=
3
2
，△ABC的面积S=
3
2
，a=
3
，求b+c的值．
（2011•黑龙江一模）已知函数f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4
．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若f（A）=0，a=
3
，b=2，求△ABC的面积S．
（2012•黄山模拟）已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
x2
1+x
．
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程；
（Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
；
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
1
n
)n+a所有项组成的集合的上界（其中e是自然对数的底数），求实数a的最大值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网