Question

等比数列{a_n}的首项为正数，a_ka_k-2=a₆²=1024，a_k-3=8，若对满足a_t＞128的任意t，

k+t

k-t

≥m都成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（-∞，-6]

B．（-∞，-8]

C．（-∞，-10]

D．（-∞，-12]

Answer 1

分析：由等比数列的性质，可得k=7，求得 a₄ 和 a₆ 的值，从而求得公比及通项公式，得到满足a_t＞128=2⁷ 的  t 的最小值等于 9，利用函数

k+t

k-t

的单调性求得函数

k+t

k-t

的最小值等于-8，从而得到-8≥m．

解答：解：由题意有可得 k+k-2=12，∴k=7，∴a₄=8．又a₆²=1024，∴a₆=32，
∴公比q=2，a_n=a₄•q^n-4=8×2^n-4=2^n-1，故满足a_t＞128=2⁷ 的  t 的最小值等于 9．

k+t

k-t

=

7+t

7-t

=

-(t-7)-14

t-7

=-1-

14

t-7

，在[9，+∞）上是增函数，
故t 取最小值9时，

k+t

k-t

有最小值为-8，由题意可得-8≥m，即实数m的取值范围是 （-∞，-8]，
故选B．

点评：本题考查等比数列的定义和性质，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，求得

k+t

k-t

有最小值为
-8，是解题的关键．