Question

（2008•上海模拟）已知等比数列{a_n}的首项a₁=1，公比为x（x＞0），其前n项和为S_n．
（1）求函数f(x)=

lim

n→+∞

Sn

Sn+1

的解析式；
（2）解不等式f(x)＞

10-3x

8

．

Answer 1

分析：（1）当x=1时，S_n=n，S_n+1=n+1，f（x）=

lim

n→+∞

n

n+1

=1；当x＞0且x≠1时，Sn=

1-xn

1-x

，f(x)=

lim

n→+∞

1-xn

1-xn+1

；当0＜x＜1，f（x）=1；当x＞1，则f(x)=

1

x

．由此能求出函数f(x)=

lim

n→+∞

Sn

Sn+1

的解析式．
（2）当0＜x≤1时，由1＞

10-3x

8

，得

2

3

＜x≤1；当x＞1时，由

1

x

＞

10-3x

8

，得1＜x＜

4

3

或x＞2．由此能求出原不等式的解集．

解答：解：（1）当x=1时，S_n=n，S_n+1=n+1，
f（x）=

lim

n→+∞

n

n+1

=1；…（2分）
当x＞0且x≠1时，Sn=

1-xn

1-x

，
f(x)=

lim

n→+∞

1-xn

1-xn+1

，…（4分）
若0＜x＜1，
f（x）=1；…（5分），
若x＞1，则f(x)=

1

x

，…（6分）
综上，f(x)=

1    (0＜x≤1) 1 x    (x＞1)

…（7分）
（2）当0＜x≤1时，
由1＞

10-3x

8

，得

2

3

＜x≤1；…（10分）
当x＞1时，
由

1

x

＞

10-3x

8

，得1＜x＜

4

3

或x＞2．…（13分）
综上可得原不等式的解集为(

2

3

 ， 

4

3

 )∪( 2 ， +∞)．…（14分）

点评：本题考查数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．