题目内容
20．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为$\frac{5π}{3}$的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（ ）| A． | $\frac{{5\sqrt{11}}}{18}$ | B． | 2 | C． | 4 | D． | $\frac{{5\sqrt{11}}}{9}$ |
分析 求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0＜a≤2r），用a表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值．
解答 解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，
则2πr=2×$\frac{5π}{3}$=$\frac{10π}{3}$．∴r=$\frac{5}{3}$．
设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0＜a≤$\frac{10}{3}$）．
则截面等腰三角形的高h=$\sqrt{{l}^{2}-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$．
∴截面面积S=$\frac{1}{2}ah$=$\frac{a}{2}\sqrt{4-\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}（4-\frac{{a}^{2}}{4}）}$≤$\frac{4}{2}$=2．
当且仅当$\frac{{a}^{2}}{4}=4-\frac{{a}^{2}}{4}$即a=2$\sqrt{2}$时取等号．
故选：B．
点评 本题考查了圆锥的结构特征，基本不等式的应用，属于中档题．
练习册系列答案
优质课堂快乐成长系列答案
相关题目
10．已知F1，F2分别为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若点P是以F1F2为直径的圆与C右支的一个交点，PF1交C于另一点Q，且|PQ|=2|QF1|，则C的离心率为（ ）
| A． | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{6}}{2}$ | C． | $\sqrt{3}$ | D． | $\sqrt{5}$ |
8．已知在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）中，2a=b+c，则该双曲线的渐近线的斜率等于（ ）
| A． | ±$\frac{4}{3}$ | B． | ±$\frac{3}{5}$ | C． | ±$\frac{3}{4}$ | D． | ±$\frac{5}{3}$ |
15．在锐角△ABC中，B=60°，|${\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AC}}$|=2，则$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围为（ ）
| A． | （0，12） | B． | [${-\frac{1}{4}$，12） | C． | （0，4] | D． | （0，2] |
9．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）在左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为5，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-3，-6），则双曲线的焦距为（ ）
| A． | 2$\sqrt{3}$ | B． | 2$\sqrt{5}$ | C． | 4$\sqrt{3}$ | D． | 4$\sqrt{5}$ |