Question

函数y=

sinx

cosx+2

的最大值为

3

3

．

Answer 1

分析：先将y=

sinx

cosx+2

化为sinx-ycosx=2y，再利用三角函数的和角公式化成：

1+y2

sin（x+θ）=2y，最后利用三角函数的有界性即可求得值域．

解答：解：∵y=

sinx

cosx+2

，
∴sinx=2y+ycosx，
∴sinx-ycosx=2y，
即：

1+y2

sin（x+θ）=2y，
∵-

1+y2

≤

1+y2

sin（x+θ）≤

1+y2

，
∴-

1+y2

≤2y≤

1+y2

，
即4y²≤1+y²．即y2≤

1

3

解得：y∈[-

3

3

，

3

3

]．
所以函数的最大值为：

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题以三角函数为载体考查分式函数的值域，属于求三角函数的最值问题，辅助角公式的应用，属于中档题．