Question

已知a、b、c∈R，二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c，g(x)＝cx²＋bx＋a，且当|x|≤1时，|f(x)|≤2．

(1)求证：|g(1)|≤2；

(2)求证：当|x|≤1时，|g(x)|≤4．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)∵|x|≤1时，|f(x)|≤2． 　　∴令x＝1，则|f(1)|＝|a＋b＋c|≤2， 　　∴|g(1)|＝|c＋b＋a|≤2． 　　(2)∵|x|≤1时，|f(x)|≤2． 　　∴|f(0)|＝|c|≤2，|f(－1)|＝|a－b＋c|≤2． 　　∴|g(x)|＝|cx2＋bx＋a|＝|(cx2－c)＋(c＋bx＋a)|≤|c||x2－1|＋|c＋bx＋a|． 　　∵|x|≤1，∴|x2－1|≤1，又|c|≤2，∴|c||x2－1|≤2． 　　∵u(x)＝c＋bx＋a在[－1，1]上为单调函数， 　　∴|c＋bx＋a|≤max{|c－b＋a|，|c＋b＋a|}． 　　又|c－b＋a|≤2，|c＋b＋a|≤2， 　　∴|c＋bx＋a|≤2，∴|g(x)|≤|c||x2－1|＋|c＋bx＋a|≤2＋2＝4．