Question

已知向量，且，
（1）求的取值范围；
（2）求证；
（3）求函数的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1））利用向量的坐标运算公式可求得=sin2x，又x∈[0，]，从而可求的取值范围；
（2）由=（cos+sinx，sinx+cosx）由向量模的概念结合辅助角公式即可证得||=2sin（x+）．
（3）将化简为：f（x）═2sinxcosx-2（sinx+cosx），
解法1：令t=sinx+cosx，sinx•cosx=（1≤t≤），y=t²-1-2t=（t-1）²-2取值范围可求．
解法2：f（x）=sin2x-2sin（x+）=-1，求得sin（x+）的范围即可．
解答：解：（1）∵=sinx•cosx+sinx•cosx=2sinx•cosx=sin2x  （2′）
∵x∈[0，]，
∴2x∈[0，π]
∴∈[0，1]（4′）
（2）证明：∵=（cos+sinx，sinx+cosx）
∴|+|=（6'）
=
∵x∈[0，]，
∴x+∈[，]，
∴sin（x+）＞0，
∴=2sin（x+），
∴|+|=2sin（x+）．（8'）
（3）∵x∈[0，]，
∴x+∈[，]
∴f（x）=
=
=2sinxcosx-2（sinx+cosx）（9'）
解法1：令t=sinx+cosx
∴）
∴y=t²-1-2t（10'）
=（t-1）²-2
∴y∈[-2，（12'）
解法2：f（x）=sin2x-2（9'）
=
=-1（10'）
∵≤1
∴f（x）∈[-2，]（12'）
点评：本题考查正弦函数的定义域和值域，着重考查了平面向量数量积的运算，三角函数的化简求值与二次函数在闭区间上的最值，综合性强，难度较大，属于难题．