Question

如图，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，|AB|=2，AC=，以A、B为焦点的椭圆经过点C．

(Ⅰ)建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

(Ⅱ)是否存在不平行于AB的直线l与(I)中椭圆交于不同两点M、N，使()·=0?若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立

直角坐标系，则A(，0)，B(，0)，C()，D(0，)．

设椭圆方程为为=1 (a＞b＞0)，c=，

于是   解得,

∴所求椭圆方程为+y²=1．

(Ⅱ)∵条件()·=0等价于||=||，

∴若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D(0，)不在x轴上矛盾．∴可设直线l：y=kx+m(k≠0)，

由  得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-4=0,

由△=64k²m²-4(1+4k²)(4m²-4)＞0得4k²+1＞m²．

设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN的中点为Q(x₀，y₀)，

则x₀=, y₀=kx₀+m=.

∵,∴,即.

解得：m=(1+4k²)．

(将点的坐标代入()·=0亦可得到此结果)

由4k²+1＞m²得，4k²+1＞(1+4k²)²得，4k²＜143，

∴k∈(，0)∪(0，)．

∴存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围是(,0)∪(0，)．