Question

如图：在直角三角形ABC中，已知AB=a，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A′-BD-C的大小记为θ．

（1）求证：平面A′EF⊥平面BCD；
（2）当A′B⊥CD时，求sinθ的值；
（3）在（2）的条件下，求点C到平面A′BD的距离．

Answer 1

分析：（1）可以先证明△ABD为等边三角形，从而可得BD⊥AE，BD⊥EF，根据线面垂直的判定可得BD⊥面AEF，进而根据面面垂直的判定可得面AEF⊥面BCD．
（2）由（1）的证明可得∠A′EF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．由于面AEF⊥面BCD，所以O在FE上，连BO交CD延长线于M，从而当AB⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，由此可求得sinθ的值；
（3）：利用体积相等求点C到平面A′BD的距离即可．

解答：解：（1）证明：由△PBA为Rt△，
∠C=30° AB=

1

2

AC
∵D为AC中点，
∴AD=BD=DC
∵△ABD为正三角形
又∵E为BD中点
∴BD⊥AE’BD⊥EF
又由A’E∩EF=E，
且A’E、EF∈平面A’EF，BD⊥平面A’EF
∴面A’EF⊥平面BCD
（2）由（Ⅰ）的证明可得∠A′EF为二面角A-BD-C的平面角．过A作AO⊥面BCD，垂足为O．
∵面A′EF⊥面BCD，
∴O在FE上，连BO交CD延长线于M，
当A′B⊥CD时，由三垂线定理的逆定理得BM⊥CM，
∴O为翻折前的等边三角形△ABD的中心．
则OE=

1

3

AE，cosθ=-

1

3

⇒sinθ=

2 2

3

．
因此当A′B⊥CD时，sinθ=

2 2

3

…（7分）
（3）∵S△A′BD=

1

2

•a•a•sin60°=

3

4

a²；
A^′E=

3

2

a，A′O=

2 2

3

AE=

6

3

a，
S_△BCD=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

•a•

3

a=

3

4

a²；
∵VC-A′BD=VA′-BCD
∴

1

3

•h•S△A′BD=

1

3

•A^′O•S_△BCD⇒h=

6

3

a．
即所求距离为：

6

3

a．

点评：本题以平面图形为载体，考查图形的翻折，关键是搞清翻折前后有关元素的变与不变，考查面面角，考查线面角，关键是正确作出相应的角．