Question

曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N⁺）在点（2，2ⁿ⁺¹）处的切线与x轴的交点的横坐标为a_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）设bn=

1

a1•a2…an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）先求出切线的斜率：函数曲线y=xⁿ⁺¹在x=2出的导数值，再由点斜式写出切线方程，令y=0求出a_n
（Ⅱ）求出b_n，再由错位相减法求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵y^′=（n+1）•xⁿ，
∴直线的方程为y-2ⁿ⁺¹=（n+1）•2ⁿ•（x-2），
令y=0得a_n=

2n

n+1

（Ⅱ）∵a1a2an=2n(

1

2

2

3

n

n+1

)，∴bn=(n+1)•(

1

2

)n
∴Sn=2•(

1

2

)+3•(

1

2

)2+4•(

1

2

)3++(n+1)•(

1

2

)n
∴

1

2

Sn=2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3++n•(

1

2

)n+(n+1)•(

1

2

)n+1
∴Sn=3-

n+3

2n

点评：本题考查函数在某点出的切线、数列的错位相减法求和，考查知识点较多，错位相减法求和易出错．