Question

设a，b，c都是正数，求证：aⁿ(a²－bc)＋bⁿ(b²－ac)＋cⁿ(c²－ab)≥0(n是任意正数)．

Answer 1

答案：
解析：

证明：设a≥b≥c＞0，只需证an+2＋bn+2＋cn+2≥anbc＋bnca＋cnab(*)． 　　由不等式的性质，知an+1≥bn+1≥cn+1，又a≥b≥c， 　　由排序原理，得 　　an+2＋bn+2＋cn+2≥an+1b＋bn+1c＋cn+1a．① 　　又由不等式单调性，知ab≥ac≥bc，an≥bn≥cn． 　　∴an+1b＋bn+1c＋cn+1a≥anbc＋bnca＋cnab．② 　　由①②可得不等式(*)成立． 　　∴原不等式成立．