Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直线l过椭圆C的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点，已知点D（$\frac{5}{2}$，0），连结BD，过点A作垂直于y轴的直线l₁，设直线l₁与直线BD交于一点P，是否存在一条定直线l₂，使得点P恒在直线l₂上？若存在，请求出直线l₂的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 如图所示，假设直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立：（3m²+4）y²+6my-9=0，直线BD的方程为：y-y₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\frac{5}{2}}$（x-x₂），令y=y₁，化简整理代入根与系数的关系即可得出．

解答 解：如图所示，
F（1，0），
假设直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为（3m²+4）y²+6my-9=0，
△＞0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$，
直线BD的方程为：y-y₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-\frac{5}{2}}$（x-x₂），
令y=y₁，
则x=x₂+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{x}_{2}-\frac{5}{2}）}{{y}_{2}}$=$\frac{m{y}_{1}{y}_{2}-\frac{3}{2}{y}_{1}+\frac{5}{2}{y}_{2}}{{y}_{2}}$=$\frac{m{y}_{1}{y}_{2}+\frac{5}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）-4{y}_{1}}{{y}_{2}}$，
∴xy₂+4y₁=$\frac{-9m}{3{m}^{2}+4}$+$\frac{-15m}{3{m}^{2}+4}$=4（y₁+y₂），
∴x=4，
当直线l的斜率为0时，也成立．
因此存在一条定直线l₂，其方程为：x=4，使得点P恒在直线l₂上．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、直线的方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．