Question

已知：如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC＝1∶1∶．

　　

(Ⅰ)求PB与平面PDC所成角的大小；

(Ⅱ)求二面角D—PB—C的正切值；

(Ⅲ)若AD＝BC，E为PC中点，求证DE∥平面PAB．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：由PD⊥平面ABCD， BC平面ABCD，得PD⊥BC． 　　 由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC． 又PD∩DC＝D，则BC⊥平面PDC 所以∠BPC为直线PB与平面PDC所成的角 令PD＝1，则DC＝1，BC＝，可求出PC＝ 由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC． 在Rt△PBC中，由PC＝BC得∠BPC＝ 即直线PB与平面PDC所成的角为 (Ⅱ)解法(一)： 取PC中点E，连DE，则DE⊥PC． 由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，得平面PDC⊥平面PBC． 则DE⊥平面PBC 作EF⊥PB于F，连DF， 由三垂线定理，得DF⊥PB． 则∠DFE为二面角D—PB—C的平面角 在Rt△PDC中，求得DE＝ 在Rt△PFE中，求得EF＝ 在Rt△DFE中，tan∠DFE＝． 即二面角D—PB—C的正切值为 解法(二)： 由PD⊥平面ABCD，PD平面PDB得平面PDB⊥平面ABCD 作CH⊥BD于H，则CH⊥平面PDB． 作HF⊥PB于F，连CF，由三垂线定理得CF⊥PB． 则∠CFH为二面角D—PB—C的平面角 在等腰Rt△PBC中，求出斜边上的中线CF＝1． 在Rt△DBC中，求出DB＝．可进一步求出斜边上的高CH＝． 在Rt△FHC中，求出HF＝．∴tan∠HFC＝． 即二面角D—PB—C的正切值为 (Ⅲ)证：取PB中点G，连AG和EG．由三角形中位线定理得GE∥BC，GE＝BC． 由已知，AD∥BC，AD＝BC． ∴AD＝GE，AD∥GE． 则四边形AGED为平行四边形， ∴AG∥DE 又AG平面PAB，DE平面PAB， ∴DE∥平面PAB．