Question

如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝，设点E是棱PB上的动点(不含端点)，过点A、D、E的平面交棱PC于点F．

(1)求证：BC∥EF；

(2)求二面角A－PB－D的大小(结果用反三角函数值表示)；

(3)试确定点E的位置，使PC⊥平面ADFE，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)证明：∵BC∥AD，BC?面ADFE，∴BC∥面ADFE．又∵面ADFE∩面PBC＝EF，

　　∴BC∥EF．

　　(2)解：连结AC，交BD于点O，∵AC⊥BD，又PD⊥面ABCD，面PBD⊥面ABCD，∵AC⊥面PBD，∴AH⊥PB．∴∠AHO是二面角APBD的平面角．不妨设AD＝1，则，PA＝2，，．Rt△AHO中，sin∠AHO＝．∴二面角A－PB－D的大小为arcsin．

　　(3)解：假设棱PB上存在点E，由题意得PC⊥AD，要使PC⊥面ADFE，只要PC⊥DF即可．当PC⊥DF时，Rt△PDC中，CD²＝CF·PC，∵CD＝1，PC＝2，∴，．∵BC∥EF，∴时，PC⊥面ADFE．

提示：

(1)证明线线平行，可用线面平行的性质定理；(2)找二面角的平面角常用“三垂线定理”法，从其中一个面内找一点作另一个面的垂线，过垂足作棱的垂线，然后连结，即得二面角的平面角，这里易知AC与面PBD垂直；(3)由(1)EF与BC平行，所以E点的位置可由F点相应得到，假如PC⊥平面ADFE，则有PC⊥DF，从而可确定F点的位置．