题目内容

设 $数学公式$ （其中x∈（0，π）），则cos2x的值为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：将已知的等式左右两边平方，利用同角三角函数间的基本关系求出2sinxcosx的值，再利用完全平方公式求出（sinx-cosx）²的值，由x∈（0，π），得到sinx大于0，再由sinx+cosx的值小于0，得出x为钝角，可得出sinx-cosx大于0，cosx-sinx小于0，开方求出cosx-sinx的值，然后将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，把sinx+cosx及cosx-sinx的值代入即可求出值．
解答：把sinx+cosx=- $\text{[math]}$ 两边平方得：（sinx+cosx）²= $\text{[math]}$ ，
∴sin²x+2sinxcosx+cos²x=1+2sinxcosx= $\text{[math]}$ ，即2sinxcosx=- $\text{[math]}$ ，
∴（sinx-cosx）²=sin²x-2sinxcosx+cos²x=1-2sinxcosx= $\text{[math]}$ ，
∵x∈（0，π），
∴sinx＞0，又sinx+cosx=- $\text{[math]}$ ＜0，
∴x∈（ $\text{[math]}$ ，π），
∴sinx-cosx= $\text{[math]}$ ，即cosx-sinx=- $\text{[math]}$ ，
则cos2x=cos²x-sin²x=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=- $\text{[math]}$ ×（- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
故选A
点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．