题目内容

已知 $数学公式$ 与直线l：4x+3y-5=0切于点A的横坐标为2， $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对于一切x∈[2，5]，总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，求n-m的最小值．

解：（1）由题意，f（2）=-1，f′（2）=- $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
解得a=-3，b=-1，
∴ $\text{[math]}$
（2）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，x≠ $\text{[math]}$
令 $\text{[math]}$ 0，可得0＜x＜ $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ；令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1；
∴函数的递增区间为（0， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ，1），单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）
（3）对于一切x∈[2，5]，函数f（x）单调递减，所以 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ ，要使总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，n-m的最小值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求出导函数，利用f（2）=-1，f′（2）=- $\text{[math]}$ ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）求导函数，令 $\text{[math]}$ 0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（3）对于一切x∈[2，5]，函数f（x）单调递减，可得 $\text{[math]}$ ，要使总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，则 $\text{[math]}$ ，由此可求n-m的最小值．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，正确求导，确定函数的单调性是关键．