Question

已知f(x)=

a(x-1)2

2x+b

，曲线y=f(x)与直线l：4x+3y-5=0切于点A的横坐标为2，g(x)=2x-

1

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对于一切x∈[2，5]，总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，求n-m的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出导函数，利用f（2）=-1，f′（2）=-

4

3

，即可求函数f（x）的解析式；
（2）求导函数，令f′(x)=

6x(x-1)

(2x-1)2

＞0，可得函数的递增区间；令f′（x）＜0，可得单调递减区间；
（3）对于一切x∈[2，5]，函数f（x）单调递减，可得-

16

3

≤f(x)≤-1，要使总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，则2m-

1

3

≤-

16

3

，2n-

1

3

≥-1，由此可求n-m的最小值．

解答：解：（1）由题意，f（2）=-1，f′（2）=-

4

3

∵f(x)=

a(x-1)2

2x+b

，
∴f′(x)=

2a(x+b+1)(x-1)

(2x+b)2

∴

a

4+b

=-1，

2a(b+3)

(4+b)2

=-

4

3

解得a=-3，b=-1，
∴f(x)=-

3(x-1)2

2x-1

（2）∵f(x)=-

3(x-1)2

2x-1

，∴f′(x)=

6x(x-1)

(2x-1)2

，x≠

1

2

令f′(x)=

6x(x-1)

(2x-1)2

＞0，可得0＜x＜

1

2

，或

1

2

＜x＜1；令f′（x）＜0，可得x＜0或x＞1；
∴函数的递增区间为（0，

1

2

），（

1

2

，1），单调递减区间为（-∞，0），（1，+∞）
（3）对于一切x∈[2，5]，函数f（x）单调递减，所以-

16

3

≤f(x)≤-1
g(x)=2x-

1

3

，要使总存在x₁∈[m，n]，使f（x）=g（x₁）成立，则2m-

1

3

≤-

16

3

，2n-

1

3

≥-1
∴m≤-

5

2

，n≥-

1

3

∴n-m≥

13

6

当m=-

5

2

，n=-

1

3

时，n-m的最小值为

13

6

．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，正确求导，确定函数的单调性是关键．