Question

已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1及对应的一个特征向量和特征值λ₂=2及对应的一个特征向量，试求矩阵A及其逆矩阵A^-1．

Answer 1

【答案】分析：设矩阵，则有，因为是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，则有，由此能够求出矩阵A及其逆矩阵A^-1．
解答：解：设矩阵，这里a，b，c，d∈R，
因为是矩阵A的属于λ₁=1的特征向量，则有①，
又因为是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，则有②，
根据①②，则有从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此，（6分）
根据题意分别是矩阵A^-1属于特征值1，的特征向量，
不妨设，则有，
则得从而，因此．（10分）
点评：本题考查矩阵的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．