Question

已知二阶矩阵A有特征值λ₁=1及对应的一个特征向量e1=

1 1

和特征值λ₂=2及对应的一个特征向量e2=

1 0

，试求矩阵A及其逆矩阵A^-1．

Answer 1

分析：设矩阵A=

ab cd

，则有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

，因为

1 0

是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，则有

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

，由此能够求出矩阵A及其逆矩阵A^-1．

解答：解：设矩阵A=

ab cd

，这里a，b，c，d∈R，
因为

1 1

是矩阵A的属于λ₁=1的特征向量，则有

1-a-b -c1-d

1 1

=

0 0

①，
又因为

1 0

是矩阵A的属于λ₂=2的特征向量，则有

2-a-b -c1-d

1 0

=

0 0

②，
根据①②，则有

1-a-b=0    -c+1-d=0    2-a=0    -c=0

从而a=2，b=-1，c=0，d=1，因此A=

2-1 01

，（6分）
根据题意

1 1

 ，  

1 0

分别是矩阵A^-1属于特征值1，

1

2

的特征向量，
不妨设A-1=

ef gh

，则有

ef gh

2-1 01

=

-2e-e+f 2g-g+h

=

10 01

，
则得

1-e-f=0  -g+1-h=0  1 2 -e=0  -g=0

从而e=

1

2

 ，f=

1

2

 ，g=0 ，h=1，因此A-1=

1 2 1 2 01

．（10分）

点评：本题考查矩阵的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用．