题目内容
函数f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一个周期内图象如图所示，其最高点为M，最低点为N，与x轴正半轴交点为P，在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．
（1）判断△MNP的形状，并给予证明；
（2）求函数f（x）的解析式，并求f（x）最大值及此时x的值．
（1）判断△MNP的形状，并给予证明；
（2）求函数f（x）的解析式，并求f（x）最大值及此时x的值．
由函数的对称性知：MN=2MO=2MP，∵MP=2，∴MN=4…（3分）
在△MNP中，
=
，∴
=
解得：sin∠MPN=1…（5分）∴∠MPN=90°，所以△MNP为直角三角形；…（6分）
（2）由（1）得：△MOP为等边三角形，…（7分）
故M(1，
)，P(2，0)…（8分）
∴A=
，T=4，∵ω＞0，∴ω=
=
∴f(x)=
sin
x…（10分）
f（x）最大值为
，此时
x=2kπ+
，即x=4k+1(k∈Z)…（13分）
在△MNP中，
| MN |
| sin∠MPN |
| MP |
| sin∠MNP |
| 4 |
| sin∠MNP |
| 2 |
| sin300 |
解得：sin∠MPN=1…（5分）∴∠MPN=90°，所以△MNP为直角三角形；…（6分）
（2）由（1）得：△MOP为等边三角形，…（7分）
故M(1，
| 3 |
∴A=
| 3 |
| 2π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3 |
| π |
| 2 |
f（x）最大值为
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
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