Question

已知函数f（x）满足：当x≥4时，f(x)=(

1

2

)x，当时，f(x+

1

2

)=-f(x)，则f（-2009+log₂3）=（　　）

• A．

  1

  24

• B．

  1

  12

• C．

  1

  8

• D．

  3

  8

Answer 1

分析：当x＜4时，利用函数的周期性将f（-2009+log₂3）转化为f（3+log₂3），再利用x≥4时，f（x）=(

1

2

)x即可求得答案．

解答：解：∵x＜4时f（x+

1

2

）=-f（x），
∴f（x+1）=f（x），
∴当x＜4时，f（x）是以4为周期的函数，
∴f（-2009+log₂3）=f（2+log₂3）=f（3+log₂3），
∵log₂3＞1，
∴3+log₂3＞4，又当x≥4时，f（x）=(

1

2

)x，
∴f（3+log₂3）=(

1

2

)3+log23
=(

1

2

)3×(

1

2

)log23
=

1

8

×

1

3

=

1

24

．
故选A．

点评：本题考查函数的周期性，考查对数恒等式的应用与函数的求值，考查分析与转化求解的能力，属于中档题．