Question

10．已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2-x），
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域及值域；
（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据真数为正，列出不等式组求得定义域，再根据真数的范围得出函数的值域；
（Ⅱ）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性；

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=1g（2+x）+lg（2-x）
∴$\left\{\begin{array}{l}{2+x＞0}\\{2-x＞0}\end{array}\right.$，解得x∈（-2，2），
函数的定义域为（-2，2）；
f（x）=lg（4-x²）≤lg4，
所以，函数f（x）的值域为（-∞，lg4]；
（Ⅱ）f（x）为偶函数，判断过程如下：
由（1）知，函数f（x）的定义域关于原点对称，
且f（-x）=lg（2-x）+lg（2+x）=f（x），
所以，f（x）为偶函数．

点评 本题主要考查了对数函数的图象和性质，函数定义域，值域的求解，以及奇偶性的判断，属于中档题．