Question

如图，在四棱锥S―ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°．SA=AB=AD=

BC=1，E为SD中点．

(1)若F为底面BC边上一点，且BF=BC，求证：EF∥平面SAB；

(2)底面BC边上是否存在一点G，使得二面角S―DG―B的正切值为?若存在，求出G点位置；若不存在．说明弹由．

Answer 1

解：(1)取SA中点H，连EH，BH

    由HE∥AD，BF∥AD，且HE=AD，BF=AD

∴HE//BF，BF=HE．

∴四边形EFBH为平行四边形．

∴EF∥BH，BH平面SAB，EF平面SAB，

∴EF∥平面SAB．

(2)存在．假设存在点G，满足题设条件，过A作AI⊥DG于I，如图所示．

由三垂线定理得SI⊥DG，并设二面角S―DG―B的大小为，则，

∴，又AD=1

故∠ADG=45°或∠ADG=135°

    若∠ADG=45°，则G点与B点重合；

    若∠ADG=135°，则BG=AD+AB=2．

故存在点G与点B重合或BG=BC满足题设．