Question

如图，已知等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C-AB-D的余弦值为，M是AC的中点，则EM，DE所成角的余弦值等于    ．

Answer 1

【答案】分析：设点C在平面ABDE内的射影为O，取AB的中点H，连结CD、CE、CO、OH、CH，根据题意证出点O是正方开ABDE的中心，可得四棱锥C-ABDE是所有棱长均为2的正四棱锥，且∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角．利用向量的方法，算出•=1，得到、夹角的余弦值等于，由此即得直线EM、DE所成角的余弦值．
解答：解：连结CD、CE，取AB的中点H，
设点C在平面ABDE内的射影为O，连结CO、OH、CH
∵CH是等边三角形ABC的中线，∴CH⊥AB
∵CO⊥平面ABDE，得OH是CH在平面ABDE内的射影
∴OH⊥AB，得∠OHC就是二面角C-AB-D的平面角
设AB=2，则等边△ABC中，CH=AB=
Rt△COH中，cos∠OHC==，可得OH=CH=1，
由此可得点O是正方开ABDE的中心，可得四棱锥C-ABDE是所有棱长均为2的正四棱锥
等边△ACE中，=（）且||=
∴•=•（）=•+•
∵∠DEA=90°，得•=0；∠DEC=60°，得•=||•||cos60°=2
∴•=×0+×2=1
可得cos＜，＞===
由此结合两条直线所成角的定义，可得直线EM、DE所成角的余弦值等于．
点评：本题给出正方形所在平面与正三角形所在平面的二面角的大小，求两条直线所成角的余弦值，着重考查了二面角的平面角的定义与求法、正四棱锥的定义与性质和运用向量的方法求两条直线所成角等知识，属于中档题．