Question

（2009•河西区二模）如图，已知三棱锥P-ABC中，底面△ABC是边长为4

2

的等边三角形，又PA=PB=2

6

，PC=2

10

（I）证明平面PAB⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证平面PAB⊥平面ABC，只要证PAB经过平面ABC的一条垂线即可，又题意可取AB的中点O，通过三角形的边角关系可证PO垂直于平面ABC，则问题得证；
（Ⅱ）以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立坐标系，利用空间向量求解直线PB与平面PAC所成角的正弦值．

解答：（I）证明：取AB的中点O，连接OP，OC，∵PA=PB，∴PO⊥AB
又在△PAO中，PA=2

6

，AO=

1

2

AB=2

2

，∴PO=

PA2-AO2

=4
在△ABC中，OC=

3

2

BC=2

6

，又PC=2

10

，
故有OC²+PO²=PC²，∴PO⊥OC，又AB∩OC=O，PO⊥面ABC
又PO?面PAB，∴面PAB⊥面ABC；
（Ⅱ）解：以O为坐标原点，分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立坐标系，
如图，则A(-2

2

，0，0)，B(2

2

，0，0)，C(0，2

6

，0，P(0，0，4)

PB

=(2

2

，0，-4)

AP

=(2

2

，0，4)，

AC

=(2

2

，2

6

，0)
设平面PAC的一个法向量为

n

=(x，y，z)．
∴

n • AP =0 n • AC =0

，得

2 2 x+4z=0 2 2 x+2 6 y=0

，
令z=1，则x=-

2

，y=

6

3

，∴

n

=(-

2

，

6

3

，1)
设直线PB与平面PAC所成角为θ
于是sinθ=|cos＜

n

，

PB

＞|=

| n • PB |

| n || PB |

=

1-4-4

2+ 2 3 +1 • 8+16

=

2 22

11

．

点评：本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了利用空间向量求线面角，关键是建立正确的空间右手系，是中档题．