题目内容

设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。

（1）求的周长

（2）求的长                       

（3）若直线的斜率为1，求b的值。

 

【答案】

（1）4

（2）4/3

（3）

【解析】第一问利用椭圆的定义可知三角形的周长为4a

第二问中，利用已知的等差数列，以及第一问周长，可以解得AB的长

第三问中，由于直线的斜率为1，设出直线与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理以及弦长公式得到b的值。

（1）由椭圆定义知

已知a=1∴的周长是4

（2）由已知 ，，成等差数列

∴   ，

又

故3|AB |=4，解得 |AB|＝4/3

（3）L的方程式为y=x+c,其中 

设,则A，B 两点坐标满足方程组

  ，

化简得

则 

因为直线AB的斜率为1，所以 

即    .

则 

解得 

 

练习册系列答案
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（2013•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(
2
，
6
2
)．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
设A1、A2与B分别是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右顶点与上定点，直线A2B与圆C：x2+y2=1相切．
（1）求证：
1
a2
+
1
b2
=1；
（2）P是椭圆E上异于A1、A2 的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为-
1
3
，求椭圆E的方程；
（3）直线l与椭圆E交于M、N两点，且
OM
•
ON
=0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由．
已知点P（-1，
3
2
）是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，
PA
+
PB
=λ
PO
（0＜λ＜4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；
（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．
（2013•安徽）设椭圆E：
x2
a2
+
y2
1-a2
=1的焦点在x轴上
（1）若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；
（2）设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上．
设F1、F2分别是椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的左、右焦点，P是该椭圆上一个动点，且|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=4
3
．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求出以点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程．

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